福岡県の大牟田市周辺で子育て支援の給付金はいつから申請できますか？

福岡県の大牟田市に住んでいます。給付金について質問させてください。 家計のやりくりに悩んでいて、少しでも助けになる制度があればと思っています。 子育て支援の給付金について教えてください。子供の年齢によって給付額が変わるのか、児童手当との関係はどうなるのかが気になります。申請は別途必要なのでしょうか。子育て世帯向けの上乗せ給付がある自治体もあると聞きました。 福岡県の他の自治体と比べて、対応が早いのか遅いのかも気になります。 わかる範囲で構いませんので、アドバイスいただけると幸いです。