行橋市周辺で子育て支援の給付金についてご存知の方お願いします

福岡県行橋市で暮らしています。給付金について教えてください。 今の生活状況を考えると、給付金をもらえるかどうかは大きいです。 子育て支援の給付金について教えてください。子供の年齢によって給付額が変わるのか、児童手当との関係はどうなるのかが気になります。申請は別途必要なのでしょうか。子育て世帯向けの上乗せ給付がある自治体もあると聞きました。 引っ越したばかりの場合、前の住所と今の住所どちらの自治体から届くのかも気になります。 少しでも情報をいただけると安心します。よろしくお願いします。